2(x+1)^1/3-(x+1)^1/6=6

$2 \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[6]{x + 1} = 6 \\$

Сделаем замену:

$\sqrt[6]{x + 1} = t$
t ≥ 0

Возведём обе части в квадрат:

$( { \sqrt[6]{x + 1}) }^{2} = {t}^{2} \\ \\ \sqrt[3]{x + 1} = {t}^{2} \\$
Тогда

$2 {t}^{2} - t = 6 \\ \\ 2 {t }^{2} - t - 6 = 0 \\$
D = ( - 1 )² - 4 × 2 × ( - 6 )= 1 + 48 = 49 = 7²

t 1,2 = ( 1 ± 7 ) / 4

t = - 1,5 - не удовлетворяет условию t ≥ 0

t = 2

Обратная замена:

$t = 2 \\ \\ \sqrt[6]{x + 1} = 2 \\ \\ x + 1 = 64 \\ \\ x = 63$

ОТВЕТ: 63