Как найти cos x,если известен tgx и sinx?

Одним из основных тригонометрических тождеств является тождество

$1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}\; \; \Rightarrow \; \; \; cos^2x=\frac{1}{1+tg^2x}$ .

Отсюда следует, что $cosx=\pm \sqrt{\frac{1}{1+tg^2x}}$ . Знак перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол х. Если угол находится в 1 или 4 четвертях, то знак (+) перед корнем. Если же угол находится во 2 или 3 четвертях, то знак перед корнем берём (-).

Например, $tgx=-\sqrt3\; ,\; \; \frac{\pi}{2}<x<\pi \; \; \Rightarrow$

$cos^2x=-\sqrt{\frac{1}{1+3}}=-\sqrt{\frac{1}{4}}=-\frac{1}{2}$